Ishodi učenja predmeta

• definirati i klasificirati binomne relacije na skupovima poznavajući njihova svojstva i karakteristične primjere
• koristiti matematičku literaturu različitih izvora, barem jedan alat za obradu matematičkog teksta te sustav za e-učenje uvažavajući specifičnosti matematike kao struke.
• odrediti normalne forme algebre sudova te ih primijeniti u minimizaciji formula algebre sudova
• pojasniti pojmove matrice i determinate, nabrojiti njihova svojstva te ih koristiti u računu matrica i determinanti
• razlikovati metode rješavanja sustava linearnih jednadžbi i primijeniti odgovarajuću metodu u rješavanju konkretnog sustava
• razumjeti i reproducirati korektni formalni dokaz matematičke tvrdnje primjenjujući osnovne oblike zaključivanja i matematičku logiku

Ishodi učenja programa

• modelirati poslovne procese i podatke u organizacijama i primijeniti modele u razvoju informacijskih i poslovnih sustavamodelirati poslovne procese i podatke u organizacijama i primijeniti modele u razvoju informacijskih i poslovnih sustava
• razumjeti i primijeniti matematičke metode, modele i tehnike primjerene rješavanju problema iz područja informacijskih i poslovnih sustava razumjeti i primijeniti matematičke metode, modele i tehnike primjerene rješavanju problema iz područja informacijskih i poslovnih sustava
• razumjeti i primijeniti vještine učenja potrebne za cjeloživotno učenje i nastavak obrazovanja na diplomskom studijurazumjeti i primijeniti vještine učenja potrebne za cjeloživotno učenje i nastavak obrazovanja na diplomskom studiju

Sadržaj predavanja

• Matematički modeli i struktura matematike
  Model kao zamjena za neki realni objekt ili pojavu. Matematički model sadrži pojavu ili proces iz realnog svijeta i apstraktnu matematičku strukturu. Svrha matematičkih modela: prezentiranje informacija u što razumljivijem obliku, jednostavnije računanje, predviđanje. Matematičko modeliranje. Podjela matematičkih modela. Izgradnja matematičke teorije. Matematički pojmovi: osnovni i izvedeni. Dokazivanje teorema: indirektni i direktni dokaz. Deduktivna metoda. Primjeri aksiomatizacije geometrije i algebre.
• Sudovi i operacije među njima
  Uvod u matematičku logiku. Uvođenje pojma sud. Operacije sa sudovima: negacija, konjunkcija, disjunkcija, implikacija, ekvivalencija. Svojstva osnovnih operacija algebre sudova. Tablice istinitosti za pojedine operacije. Veza implikacije sa: obratom teorema, suprotnim teoremom i obratom suprotnog teorema. Dokazi u matematici: direktni dokaz, niz ekvivalentnih tvrdnji, dokaz po kontrapoziciji, dokaz protuprimjerom (da tvrdnja nije istinita), matematička indukcija. Peanovi aksiomi. Upotreba sigma notacije.
• Formule algebre sudova
  Formula algebre sudova. Posebne formule algebre sudova: tautologija i kontradikcija. Poznate tautologije deduktivnog zaključivanja: modus ponens, modus tolens, hipotetički silogizam, disjunktivni silogizam, dodavanje, pojednostavljivanje... Izrada semantičkih tablica za formule algebre sudova. Definiranje funkcije algebre sudova u skladu s općim pojmom funkcije.
• Normalne forme i minimizacija
  Određivanje bazičnih konjunkcija i bazičnih disjunkcija. Određivanje formule za funkciju zadanu semantičkom tablicom pomoću disjunktivne i konjunktivne normalne forme. Minimizacija funkcije: algebarski (primjenom svojstava algebre sudova) i grafički (Vejčovom metodom, Karnoughov graf). Uvođenje operacija NOR i NAND. Primjena normalnih formi i minimizacije na kreiranje logičkog sklopa za danu funkciju.
• Predikati i kvantifikatori
  Uvođenje pojma predikat kao poopćenje pojma sud. Univerzum razmatranja za zadani predikat. Zapisivanje predikata pomoću tablice (matrice predikata). Uvođenje univerzalnog i egzistencijalnog kvantifikatora. Određivanje veze između kvantifikatora i logičkih operacija. Negacija kvantifikatora. Sudovi s više kvantifikatora. Važnost redosljeda kvantifikatora.
• Skupovi
  Zadavanje skupa: nabrajanjem elemenata, definiranjem svojstva elemenata koja određuju pripadnost skupu pomoću predikata. Paradoksi teorije skupova. Doprinos Cantora i Zermela. Skupovi brojeva. Relacije među skupovima: relacija sadržavanja, jednakost skupova, pravi podskup. Partitivni skup. Operacije sa skupovima: unija, presjek, razlika, komplement, simetrična razlika. Svojstva skupovnih operacija: zakon idempotencije, komutativnost, asocijativnost, distributivnost, De Morganovi zakoni, zakon involucije, zakon identitete. Primjena tablice pripadnosti na dokazivanje. Kartezijev produkt skupova. Prikaz elemenata Kartezijevog skupa pomoću točaka u ravnini.
• Binarna relacija
  Definiranje binarne relacije. Primjeri relacija (diskretni i kontinuirani slučajevi). Prikazivanje relacije grafički pomoću čvorova i lukova. Matrica incidencije. Određivanje relacije obrata, relacije komplementa i dualne relacije za zadanu relaciju. Svojstva binarnih relacija: refleksivnost, simetričnost, tranzitivnost, irefleksivnost, antisimetričnost, kompletnost, stroga kompletnost... Posebne uređajne relacije. Svojstva relacije ekvivalencije. Primjeri relacije ekvivalencije: modularna ekvivalencija, jednakost na skupu, paralelnost na skupu pravaca ravnine, sukladnost trokuta na skupu svih trokuta... Dokazivanje da li je relacija relacija ekvivalencije. Upotreba relacije ekvivalencije. Povezivanje pojmova klasa ekvivalencije i kvocijentni skup s relacijom ekvivalencije.
• Relacija parcijalnog uređaja. Funkcije kao relacije
  Svojstva relacije parcijalnog uređaja. Dokazivanje da li je relacija relacija parcijalnog uređaja. Najveći i najmanji element u parcijalno uređenom skupu. Teorem o jedinstvenosti najvećeg elementa. Linearno uređen skup ili lanac. Relacija dobrog uređaja. Grafička interpretacija svojstava binarnih relacija. Interpretacija svojstava u matrici incidencije. Uvođenje pojma funkcija preko relacije. Konstantna funkcija. Injekcija. Surjekcija. Bijekcija. Inverzna funkcija. Važnost bijekcije kod inverzne funkcije i jednakobrojnosti skupova. Grafički prikaz funkcija. Permutacija. Cjelobrojene funkcije (floor, ceilling), njihovi grafovi i svojstva. Uvođenje pojma ekvivalentnih skupova preko bijektivnosti. Konačni i beskonačni skupovi. Prebrojivi i neprebrojivi skupovi. Cohenov doprinos hipotezi kontinuuma. Primjeri bijekcija koje povezuju ekvivalentne skupove.
• Definicija matrice, specijalne vrste matrica. Operacije s matricama
  Motivacija za uvođenjem matrica. Primjeri primjena matrica u kompjutorskoj grafici. Definicija matrice. Format matrice. Primjeri matrica. Jednakost matrica. Specijalne vrste matrica: kvadratna, dijagonalna, gornjetrokutasta, donjetrokutasta, jedinična, jednoredna, jednostupčana, nulmatrica. Operacije s matricama: transponiranje matrica, zbrajanje matrica, množenje matrice realnim brojem. Definicija i svojstva simetričnih i antisimetričnih matrica. Svojstva množenja matrica realnim brojem. Skup matrica tipa (m,n) uz operacije zbrajanja matrica i množenja matrica realnim brojem je linearni ili vektorski prostor. Skalarni produkt uređenih n-torki. Množenje ulančanih matrica. Svojstva množenja matrica. Inverzna matrica. Množenje matrica nije komutativno. Inverzna matrica kvadratne matrice reda 2. Motivacija za uvođenje determinanti.
• Determinante. Svojstva determinanti
  Definiranje pojma determinanta za kvadratne matrice. Deduciranje formula za računanje determinanti drugog i trećeg reda. Sarrusovo pravilo za računanje matrica trećeg reda. Svojstva determinanti: transponirane matrice, jedinične matrice, gornjetrokutaste matrice, matrice pomnožene realnim brojem, matrice potencirane prirodnim brojem, matrice koja ima dva jednaka stupca (reda), matrice kojoj su elementi nekog reda (stupca) jednaki nuli... Binet-Cauchyjev teorem o determinanti produkta dviju matrica. Računanje determinanti upotrebom svojstava determinanti tako da se svodi na determinantu trokutaste matrice
• Laplaceov razvoj determinante. Inverzna matrica. Matrične jednadžbe
  Regularna i singularna matrica. Uvođenje pojma minora matrice za determinantu submatrice zadane matrice. Definiranje pojma algebarski komplement koji je potreban za razvoj determinante po i-tom redu ili j-tom stupcu. Izvod formule za Laplaceov razvoj determinante. Primjena algebarskih komplemenata za određivanje inverza regulane matrice. Svojstva inverzne matrice. Primjeri traženja inverznih matrica. Rješavanje matričnih jednadžbi oblika AX=B, XA=B, gdje je A regularna matrica. Jednažba AX+XB=C. Primjeri rješavanja matričnih jednadžbi.
• Sustav m linearnih jednadžbi s n nepoznanica
  Uvođenje pojma linearna jednadžba s n nepoznanica. Definiranje sustava m linearnih jednadžbi s n nepoznanica. Uvođenje pojmova: određen, neodređen i kontradiktoran sustav. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću inverzne matrice: postupak i primjeri. Rješavanje sustava jednadžbi pomoću determinanti. Cramerovo pravilo o rješenjima sustava linearnih jednadžbi. Primjeri određenih, neodređenih i kontradiktornih sustava od n jednadžbi i n nepozanica, riješeni pomoću Cramerovog postupka.
• Gaussov postupak
  Uvođenje pojma ekvivalentni sustavi linearnih jednadžbi. Elementarne transformacije sustava jednadžbi. Primjena elementarnih transformacija na recima za dobivanje ekvivalentnog sustava zadanom sustavu. Opće rješenje sustava linearnih jednadžbi. Posebno (partikularno) rješenje sustava linearnih jednadžbi. Bazično rješenje sustava linearnih jednadžbi. Tipični primjeri zadataka traženja rješenja sustava pomoću Gaussovog postupka. Uspoređivanje svih metoda kod rješavanja sustava i njihove efikasnosti u pojedinim slučajevima. Određivanje inverzne matrice pomoću Gaussovog postupka.
• Rang matrice. Homogeni sustav linearnih jednadžbi
  Definiranje pojma ranga matrice. Određivanje ranga matrice po definiciji. Određivanje ranga matrice upotrebom elementarnih transformacija na recima i stupcima. Kronecker-Capellijev teorem o konzistentnosti sustava jednadžbi i njegov dokaz. Homogeni sustav linearnih jednadžbi. Trivijalno rješenje homogenog sustava. Roucheov teorem kao posljedica primjene Kronecker-Capellijevog teorema na homogeni sustav od n jednadžbi s n nepoznanica.
• Sustavi linearnih nejednadžbi
  Ponavljanje: linearna nejednadžba, kvadratna nejednadžba. Uvođenje pojma linearna nejednadžba s više varijabli. Sustav linearnih nejednadžbi s dvije varijable. Grafičko rješavanje sustava linearnih nejednadžbi s dvije varijable. Opće rješenje sustava linearnih nejednadžbi. Elementarne transformacije sustava linearnih nejednadžbi. Pridruživanje ekvivalentnog sustava sustavu linearnih nejednadžbi uvođenjem dopunskih varijabli. Uloga bazičnih rješenja pripadnog sustava jednadžbi. Rješivost sustava linearnih nejednadžbi.

Sadržaj seminara/vježbi

• seminari
  Program seminara prati program predavanja. Predavanja se uglavnom izvode početkom tjedna, a nakon toga slijede seminari. Na seminarima se rade zadaci, problemski zadaci, prati se studente po zadanom obrascu, a koristi se i modul za e-učenja.
• Matematički modeli i struktura matematike
  Dokazivanje teorema matematičkom indukcijom, indirektnim i direktnim dokazom. Deduktivna metoda. Sigma notacija.
• Sudovi i operacije među njima
  Operacije sa sudovima: negacija, konjunkcija, disjunkcija, implikacija, ekvivalencija. Svojstva osnovnih operacija algebre sudova. Tablice istinitosti za pojedine operacije. Veza implikacije sa: obratom teorema, suprotnim teoremom i obratom suprotnog teorema. Dokazi u matematici: direktni dokaz, niz ekvivalentnih tvrdnji, dokaz po kontrapoziciji, dokaz protuprimjerom (da tvrdnja nije istinita).
• Formule algebre sudova
  Izrada semantičkih tablica za formule algebre sudova.
• Normalne forme i minimizacija
  Određivanje bazičnih konjunkcija i bazičnih disjunkcija. Određivanje formule za funkciju zadanu semantičkom tablicom pomoću disjunktivne i konjunktivne normalne forme. Minimizacija funkcije: algebarski (primjenom svojstava algebre sudova) i grafički (Vejčovom metodom, Karnoughov graf). Primjena normalnih formi i minimizacije na kreiranje logičkog sklopa za danu funkciju.
• Predikati i kvantifikatori
  Uvođenje pojma predikat kao poopćenje pojma sud. Univerzum razmatranja za zadani predikat. Zapisivanje predikata pomoću tablice (matrice predikata). Određivanje veze između kvantifikatora i logičkih operacija. Negacija kvantifikatora. Sudovi s više kvantifikatora. Važnost redosljeda kvantifikatora.
• Skupovi
  Zadavanje skupa: nabrajanjem elemenata, definiranjem svojstva elemenata koja određuju pripadnost skupu pomoću predikata. Skupovi brojeva. Relacije među skupovima: relacija sadržavanja, jednakost skupova, pravi podskup. Partitivni skup. Operacije sa skupovima: unija, presjek, razlika, komplement, simetrična razlika. Svojstva skupovnih operacija: zakon idempotencije, komutativnost, asocijativnost, distributivnost, De Morganovi zakoni, zakon involucije, zakon identitete. Primjena tablice pripadnosti na dokazivanje. Kartezijev produkt skupova. Prikaz elemenata Kartezijevog skupa pomoću točaka u ravnini
• Binarna relacija
  Prikazivanje relacije grafički pomoću čvorova i lukova. Matrica incidencije. Određivanje relacije obrata, relacije komplementa i dualne relacije za zadanu relaciju. Svojstva binarnih relacija: refleksivnost, simetričnost, tranzitivnost, irefleksivnost, antisimetričnost, kompletnost, stroga kompletnost... Posebne uređajne relacije. Svojstva relacije ekvivalencije. Dokazivanje da li je relacija relacija ekvivalencije. Povezivanje pojmova klasa ekvivalencije i kvocijentni skup s relacijom ekvivalencije.
• Relacija parcijalnog uređaja. Funkcije kao relacije
  Dokazivanje da li je relacija relacija parcijalnog uređaja. Najveći i najmanji element u parcijalno uređenom skupu. Linearno uređen skup ili lanac. Relacija dobrog uređaja. Grafička interpretacija svojstava binarnih relacija. Interpretacija svojstava u matrici incidencije. Uvođenje pojma funkcija preko relacije. Konstantna funkcija. Injekcija. Surjekcija. Bijekcija. Inverzna funkcija. Važnost bijekcije kod inverzne funkcije i jednakobrojnosti skupova. Grafički prikaz funkcija. Permutacija. Uvođenje pojma ekvivalentnih skupova preko bijektivnosti. Konačni i beskonačni skupovi. Prebrojivi i neprebrojivi skupovi.
• Definicija matrice, specijalne vrste matrica. Operacije s matricama
  Specijalne vrste matrica: kvadratna, dijagonalna, gornjetrokutasta, donjetrokutasta, jedinična, jednoredna, jednostupčana, nulmatrica. Operacije s matricama: transponiranje matrica, zbrajanje matrica, množenje matrice realnim brojem. Definicija i svojstva simetričnih i antisimetričnih matrica. Svojstva množenja matrica realnim brojem. Skalarni produkt uređenih n-torki. Množenje ulančanih matrica. Svojstva množenja matrica. Inverzna matrica. Inverzna matrica kvadratne matrice reda 2.
• Determinante. Svojstva determinanti
  Determinanta kvadratne matrice. Formule za računanje determinanti drugog i trećeg reda. Sarrusovo pravilo za računanje matrica trećeg reda. Svojstva determinanti: transponirane matrice, jedinične matrice, gornjetrokutaste matrice, matrice pomnožene realnim brojem, matrice potencirane prirodnim brojem, matrice koja ima dva jednaka stupca (reda), matrice kojoj su elementi nekog reda (stupca) jednaki nuli... Binet-Cauchyjev teorem o determinanti produkta dviju matrica. Računanje determinanti upotrebom svojstava determinanti tako da se svodi na determinantu trokutaste matrice.
• Laplaceov razvoj determinante. Inverzna matrica. Matrične jednadžbe
  Regularna i singularna matrica. Minora matrice za determinantu submatrice zadane matrice. Algebarski komplement koji je potreban za razvoj determinante po i-tom redu ili j-tom stupcu. Formule za Laplaceov razvoj determinante. Primjena algebarskih komplemenata za određivanje inverza regulane matrice. Svojstva inverzne matrice. Primjeri traženja inverznih matrica. Rješavanje matričnih jednadžbi oblika AX=B, XA=B, gdje je A regularna matrica. Jednažba AX+XB=C. Primjeri rješavanja matričnih jednadžbi.
• Sustav m linearnih jednadžbi s n nepoznanica
  Rješavanje sustava: određen, neodređen i kontradiktoran sustav. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću inverzne matrice: postupak i primjeri. Rješavanje sustava jednadžbi pomoću determinanti. Cramerovo pravilo o rješenjima sustava linearnih jednadžbi. Primjeri određenih, neodređenih i kontradiktornih sustava od n jednadžbi i n nepozanica, riješeni pomoću Cramerovog postupka.
• Gaussov postupak
  Primjena elementarnih transformacija na recima za dobivanje ekvivalentnog sustava zadanom sustavu. Opće rješenje sustava linearnih jednadžbi. Posebno (partikularno) rješenje sustava linearnih jednadžbi. Bazično rješenje sustava linearnih jednadžbi. Tipični primjeri zadataka traženja rješenja sustava pomoću Gaussovog postupka. Uspoređivanje svih metoda kod rješavanja sustava i njihove efikasnosti u pojedinim slučajevima. Određivanje inverzne matrice pomoću Gaussovog postupka.
• Rang matrice. Homogeni sustav linearnih jednadžbi
  Određivanje ranga matrice po definiciji. Određivanje ranga matrice upotrebom elementarnih transformacija na recima i stupcima. Kronecker-Capellijev teorem o konzistentnosti sustava jednadžbi i njegova primjena. Homogeni sustav linearnih jednadžbi. Roucheov teorem kao posljedica primjene Kronecker-Capellijevog teorema na homogeni sustav od n jednadžbi s n nepoznanica.
• Sustavi linearnih nejednadži
  Ponavljanje: linearna nejednadžba, kvadratna nejednadžba. Uvođenje pojma linearna nejednadžba s više varijabli. Sustav linearnih nejednadžbi s dvije varijable. Grafičko rješavanje sustava linearnih nejednadžbi s dvije varijable. Opće rješenje sustava linearnih nejednadžbi. Elementarne transformacije sustava linearnih nejednadžbi. Pridruživanje ekvivalentnog sustava sustavu linearnih nejednadžbi uvođenjem dopunskih varijabli. Bazična rješenja pripadnog sustava jednadžbi. Rješivost sustava linearnih nejednadžbi.

Alati koji se koriste na predmetu

• Mathematica

Osnovna literatura

• Divjak, B.; Hunjak, T. Matematika za informatičare. TIVA - Fakultet organizacije i informatike, Varaždin, 2004. - sveučilišni udžbenik
• Divjak, B.; Hunjak, T.; Ostroški, M. Zbirka zadataka iz matematike. TIVA - Fakultet organizacije i informatike, Varaždin, 2007. - fakultetska zbirka

Dopunska literatura

• Chiang, A.C. Osnovne metode matematičke ekonomije. 3. izd. MATE, Zagreb, 1994.
• Goodaire, C.G.; Parmenter, M.M. Discrete Mathematics with Graph Theory. Prentice-Hal, Upper Saddle River, New Jersey, 2006.
• Graham, R.L.; Knuth, D.E.; Patashnik, O. Concrete Mathematics. 2nd ed. AddisonWesley, Reading, 1994.
• Bogart, K.; Stein, C.; Drysdale, R.L. Discrete mathematics for computer science. Key College, Emeryville, 2006.

Slični predmeti

• predmet u Splitu je malo opširniji i ima više sati