Ishodi učenja predmeta

• analizirati i riješiti srednje težak problemski zadatak iz područja matematičke analize te njegovo rješenje prezentirati u obliku korektnog matematičkog teksta
• analizirati probleme računanja površine te primijeniti integralni račun pri njihovom rješavanju
• iskazati osnovne teoreme matematičke analize funkcije realne varijable te izvesti dokaze manjeg broja jednostavnijih
• objasniti pojam derivacije funkcije na problemu tangente uz osvrt na povijesni razvoj infinitezimalnog računa
• ponoviti definicije i svojstva aritmetičkog i geometrijskog niza, razlikovati srodne pojmove poput gomilišta i limesa te izračunati limese nizova i funkcija, srednje težine
• primijeniti diferencijalni račun pri analizi grafa funkcije i optimizaciji realne funkcije realne varijable
• razumjeti i ponoviti osnovne definicije i svojstva vezana uz realne funkcije realne varijable

Ishodi učenja programa

• modelirati poslovne procese i podatke u organizacijama i primijeniti modele u razvoju informacijskih i poslovnih sustavamodelirati poslovne procese i podatke u organizacijama i primijeniti modele u razvoju informacijskih i poslovnih sustava
• razumjeti i primijeniti matematičke metode, modele i tehnike primjerene rješavanju problema iz područja informacijskih i poslovnih sustava razumjeti i primijeniti matematičke metode, modele i tehnike primjerene rješavanju problema iz područja informacijskih i poslovnih sustava
• razumjeti i primijeniti vještine učenja potrebne za cjeloživotno učenje i nastavak obrazovanja na diplomskom studijurazumjeti i primijeniti vještine učenja potrebne za cjeloživotno učenje i nastavak obrazovanja na diplomskom studiju

Sadržaj predavanja

• Realne funkcije realne varijable. Domena funkcije. Kompozicija. Bijekcija. Graf funkcije
  Zadavanje funkcija: numerički (pomoću tablice), algebarski (pomoću formule), grafički (pomoću grafa). Klasifikacija realnih funkcija realne varijable: algebarske funkcije i transcedentne. Podjela algebarskih funkcija na racionalne (polinomi, prave racionalne funkcije) i iracionalne. Specijalni slučaj racionalne funkcije – homografska funkcija. Podjela transcedentnih funkcija. Određivanje domena realnih funkcija realne varijable: racionalne i iracionalne funkcije, logaritamske funkcije, ciklometrijskih funkcija arkus sinus i arkus kosinus. Uvođenje pojma kompozicija funkcija za dvije zadane funkcije realne varijable. Kompozicija funkcija nema svojstvo komutativnosti. Identično preslikavanje. Specijalne funkcije: injekcija, surjekcija, bijekcija. Bijekcija kao uvjet za postojanje inverzne finkcije. Jednakobrojnost skupova pomoću bijekcije. Računanje inverza funkcije koja je bijekcija. Grafovi međusobno inverznih funkcija su uvijek simetrični s obzirom na pravac y=x. Restrikcija funkcije. Primjeri kvadratne i eksponencijalne funkcije. Graf funkcije. Graf implicitno zadane funkcije. Modeliranje pomoću elementarnih funkcija. Uvod u optimizaciju.
• Svojstva realnih funkcija realne varijable
  Definicija nultočke funkcije. Uvođenje pojmova funkcije ograničene odozgo (odozdo), gornja i donja međa funkcije. Određivanje donje i gornje međe za funkciju arctgx. Definicija pada i rasta funkcije. Za funkciju koja raste ili pada na cijelom području definicije uvodi se pojam monotona funkcija. Definicija lokalnog minimuma i maksimuma funkcije. Za vrijednosti funkcije u tim točkama uvode se pojmovi maksimalna i minimalna vrijednost. Za lokalni minimum i maksimum uvodi se pojam lokalni ekstremi. Definicija periodične funkcije. Primjeri periodičnih funkcija (trigonometrijske funkcije). Definicija parne i neparne funkcije. Primjeri parnih funkcija: potencije s parnim eksponentima, kosinus. Primjeri neparnih funkcija: potencije s neparnim eksponentima, sinus, tangens, kotangens. Graf parne i neparne funkcije.
• Primjeri funkcija i njihovih grafova
  Polinomi: konstantna funkcija, Afina funkcija (graf je pravac), kvadratna funkcija (graf je parabola). Racionalne funkcije: istostranična hiperbola. Iracionalne funkcije: drugi korijen iz x. Eksponencijalne funkcije s bazom većom od 1 i bazom između 0 i 1. Svojstva eksponencijalnih funkcija. Primjer krivulje učenja i logističke krivulje. Uvođenje logaritamske funkcije kao inverzne funkcije eksponencijalne funkcije. Grafovi logaritamskih funkcija s bazom većom od 1 i bazom između 0 i 1. Svojstva logaritama.Uvođenje prirodnog logaritma kao logaritma po bazi e. Trigonometrijske funkcije: sinus, kosinus, tangens, kotangens. Relacije među trigonometrijskim funkcijama. Uvođenje ciklometrijskih funkcija kao inverznih funkcija trigonometrijskim funkcijama.
• Nizovi realnih brojeva
  Definiranje niza realnih brojeva kao funkcije sa skupa prirodnih brojeva na skup realnih brojeva. Zadavanje nizova: nabrajanjem prvih članova, općim članom niza, rekurzivnom formulom. Primjer Fibonaccijevog niza. Definicije aritmetičkog i geometrijskog niza. Karakterizacija aritmetičkog niza. Karakterizacija geometrijskog niza. Suma prvih n članova aritmetičkog niza. Suma prvih n članova geometrijskog niza. Primjena geometrijskog niza na računanje konačne vrijednosti n periodskih uplata visine R koje se uplaćuju početkom svake godine (prenumerando).
• Svojstva nizova realnih brojeva. Red
  Definiranje pojmova rastući, padajući i monoton niz analogno odgovarajućim pojmovima rastuće, padajuće i monotone funkcije. Definicija niza omeđenog odozgo i odozdo. Primjeri omeđenih nizova. Definicije gomilišta niza i granične vrijednosti niza ili limesa. Uvođenje pojmova konvergentan niz za niz koji ima limes. Karakterizacija limesa niza. Bolzano-Weierstrassov teorem koji kaže da svaki omeđen niz ima bar jedno gomilište. Teorem da svaki monoton i omeđen niz ima limes. Veza između limesa i gomilišta. Svojstva limesa niza: limes sume, limes produkta, limes kvocijenta, limes konstante, limes niza pomnoženog realnim brojem. Dokazi nekih od nabrojenih svojstava. Važniji limesi nizova i njihovi dokazi. Računanje limesa upotrebom svojstava limesa i važnijih limesa. Definicija k-te parcijalne sume niza te uvođenje pojma niz parcijalnih suma. Definiranje reda kao uređenog para niza i njemu pripadnog niza parcijalnih suma. Definiranje konvergencije reda preko konvergencije niza parcijalnih suma. Nužan uvjet konvergencije reda. Dokaz nužnog uvjeta. Primjer da nužan uvjet nije ujedno i dovoljan.
• Geometrijski red. Limes funkcije
  Definiranje geometrijskog reda kao reda kojemu je pripadni niz geometrijski. Suma geometrijskog reda. Primjena geometrijskog reda na računanje beskonačne rente. Računanje sume nekih geometrijskih redova. Motivacija za uvođenjem limesa funkcije (tri karakteristična motivirajuća primjera). Cauchyjeva definicija neprekidnosti funkcije. Heineova definicija limesa funkcije pomoću nizova. Definiranje pojmova limes slijeva i limes zdesna. Teorem da funkcija ima limes u točki ako i samo ako je limes slijeva jednak limesu zdesna u toj točki. Sve elementarne funkcije imaju limes u svakoj točki u kojoj su definirane. Limes u beskonačnosti. Svojstva limesa funkcija: limes sume, limes produkta, limes kvocijenta. Dokazi nekih od nabrojenih svojstava. Važniji limesi funkcija i dokazi. Neodređeni limesi.
• Neprekidnost funkcije
  Definicija neprekidnosti funkcije u točki. Tri kriterija da bi funkcija bila neprekidna u točki: točka treba biti iz domene funkcije, treba postojati limes u toj točki i taj limes treba biti jednak vrijednosti funkcije u toj točki. Definicija funkcije neprekidne na intervalu. Propozicija da je suma konačno mnogo neprekidnih funkcija neprekidna funkcija i da je produkt konačno mnogo neprekidnih funkcija neprekidna funkcija. Posljedica propozicije je da su polinomi, razlomljene racionalne funkcije i elementarne funkcije neprekidne. Uvođenje pojma prekid u točki. Klasifikacija prekida: uklonjivi (ili prve vrste) i beskonačni (ili druge vrste). Primjeri različitih prekida funkcije. Definicija neprekidne funkcije na zatvorenom intervalu. Teorem o međuvrijednosti i njegove osnovne primjene. Teorem o ekstremima funkcije na zatvorenom intervalu.
• Derivacija funkcije
  Razvoj diferencijalnog računa kroz povijest. Motivacija za uvođenjem diferencijalnog računa. Newtonov i Leibnizov pristup diferencijalnom računu. Problem tangente na način koji je doveo Leibniza do pojma derivacije. Geometrijska interpretacija derivacije funkcije u točki kao nagib tangente u zadanoj točki. Definicija derivacije funkcije u točki. Nužan uvjet za postojanje derivacije u točki je da je ona neprekidna u toj točki. Pravila za deriviranje: derivacija zbroja funkcija, derivacija produkta i kvocijenta funkcija, derivacija konstantne funkcije. Dokazi pravila za deriviranje.
• Tablica derivacija. Diferencijal
  Deriviranje identitete, kvadratne funkcije, potencije, iracionalne funkcije, eksponencijalne i logaritamske funkcije, trigonometrijskih funkcija. Primjeri derivacija. Derivacija kompozicije funkcije. Primjer derivacije funkcije koja je kompozicija triju funkcija. Derivacija inverzne funkcije. Primjer derivacije funkcije arkus sinus po pravilu za deriviranje inverzne funkcije. Derivacija implicitno zadane funkcije i osnovni primjeri primjene tog pravila. Logaritamska derivacija i osnovni primjeri primjene tog pravila. Tablica derivacija. Induktivno uvođenje pojma derivacije višeg reda. Diferencijal funkcije i njegovo geometrijsko značenje. Primjena derivacija (L'Hospitalovo pravilo) na računanje limesa neodređenih oblika.
• Primjena derivacija
  Uvođenje pojmova tangenta i normala funkcija u danoj točki. Računanje tangente i normale zadane krivulje u zadanoj točki. Definiranje kuta između krivulja kao kuta pod kojim se sijeku njihove tangente u točki presjeka. Određivanje kuta između zadanih dviju krivulja. Karakterizacija pada i rasta funkcije na intervalu pomoću prve derivacije funkcije. Određivanje intervala monotonosti zadane funkcije. Nužan uvjet za postojanje lokalnih ekstrema. Karakteristični primjeri. Uvođenje pojma stacionarna točka za točku za koju je ispunjen nužan uvjet. Primjena druge derivacije na određivanje lokalnih ekstrema.
• Tok funkcije. Teoremi o srednjoj vrijednosti
  Uvođenje pojmova konveksna i konkavna funkcija te točaka infleksije. Nužan uvjet da je neka točka točka infleksije. Određivanje ekstremnih točaka i točaka infleksije. Opći teorem o određivanju ekstrema i točaka infleksije pomoću derivacija višeg reda. Uvođenje pojma asimptota funkcije. Vrste asimptota: vertikalna, kosa i horizontalna. Određivanje asimptota pomoću limesa. Karakteristični primjeri računanja asimptota funkcije. Tok funkcije: nultočke, domena, svojstva (parnost, neparnost...), ekstremi, pad i rast, konveksnost i konkavnost, točka infleksije. Skiciranje grafa funkcije upotrebom elementa analize funkcije. Četiri teorema o srednjoj vrijednosti: Fermatov teorem, Lagrangeov teorem, Rolleov teorem i Cauchyjev teorem.
• Neodređeni integrali
  Definicija primitivne funkcije. Uvođenje pojma neodređeni integral kao skup svih primitivnih funkcija dane funkcije. Tablica neodređenih integrala. Svojstva neodređenog integrala. Primjeri upotrebe tablice integriranja i svojstava (neposredno integriranje). Metode integriranja: neposredno integriranje, metoda supstitucije, metoda parcijalne integracije. Primjeri primjene metode supstitucije. Primjeri primjene metode parcijalne integracije na računanje integrala funkcija oblika x^2e^(3x) i x^5lnx.
• Integriranje racionalnih i trigonometrijskih funkcija
  Integriranje nekih racionalnih funkcija rastavljanjem podintegralne funkcije na parcijalne razlomke. Integriranje trigonometrijskih funkcija. Integriranje funkcije oblika f(x)=R(u) gdje je R racionalna funkcija, a u=tgx. Integriranje funkcije oblika f(x)=R(u,v), gdje je R racionalna funkcija, a u= cos2x i v=sin2x. Integriranje funkcije oblika f(x)=R(u,v), gdje je R racionalna funkcija, a u=cosx i v=sinx. Integriranje funkcije oblika sinmxcosnx. Primjeri računanja integrala gore navedenim metodama.
• Problem površine i određeni integral
  Određivanje površine koju omeđena neprekidna funkcija na zadanom intervalu zatvara s osi x. Dijeljenje intervala na n dijelova. Postavljanje dva pravokutnika nad svakim podintervalom tako da jedan leži ispod grafa, a drugi ga premašuje. Uvođenje minimuma i maksimuma funkcije na svakom podintervalu kao visine pripadnog pravokutnika. Uvođenje donje i gornje integralne sume kao sume površina svih pravokutnika ispod grafa, odnosno iznad grafa funkcije. Definicija određenog integrala kao zajedničkog limesa gornje i donje integralne sume.
• Newton-Leibnizova formula. Računanje površina pomoću određenog integrala
  Newton-Leibnizova formula – veza između određenog integrala i primitivne funkcije podintegralne funkcije. Svojstva određenog integrala. Računanje određenih integrala upotrebom svojstava i Newton-Leibnizove formule. Proširivanje pojma određeni integral na negativne funkcije. Integral negativne funkcije je negativna vrijednost površine krivocrtnog trapeza. Računanje površine ravninskog lika na intervalu na kojem funkcija mijenja predznak. Primjeri određivanja površine lika omeđenog krivuljama y=x^2 i y=x^3 te određivanje površine lika ispod krivulje y=x^2-2x na zadanom intervalu.

Sadržaj seminara/vježbi

• Seminari
  Seminari prate predavanja i na njima se rade praktični zadaci i provodi sustav praćenja studenata, prema opisanom obrascu.
• Realne funkcije realne varijable. Domena funkcije. Kompozicija. Bijekcija
  Određivanje domena racionalnih, logaritamskih, eksponencijalnih i ciklometrijskih funkcija. Rješavanje zadataka s kompozicijom funkcije i ispitivanje kodomene funkcije. Ispitivanje injektivnosti, surjektivnosti i bijektivnosti funkcije.
• Svojstva realnih funkcija realne varijable
  Ispitivanje svojstava funkcija: parnosti/neparnosti, monotonosti, omeđenosti i periodičnosti. Određivanje temeljnog perioda trigonometrijskih funkcija te nultočaka funkcija.
• Primjeri funkcija i njihovih grafova
  Određivanje inverzne funkcije. Skiciranje grafa inverzne funkcije te grafova elementarnih funkcija i funkcija nastalih iz elementarnih funkcija.
• Nizovi realnih brojeva
  Određivanje članova niza zadanog pomoću općeg člana, rekurzivno ili nabrajanjem članova. Zadaci s aritmetičkim i geometrijskim nizom.
• Svojstva nizova realnih brojeva
  Ispitivanje svojstava nizova kao što su omeđenost, monotonost, gomilište niza, limes niza. Računanje limesa niza po definiciji i korištenjem poznatih limesa.
• Geometrijski red. Limes funkcije
  Rješavanje zadataka sa sumom geometrijskog reda. Ispitivanje limesa funkcije po definiciji i računanje limesa funkcije korištenjem poznatih limesa funkcija.
• Neprekidnost funkcije
  Ispitivanje neprekidnosti funkcije po definiciji i korištenjem propozicija. Klasificiranje prekida prve i druge vrste funkcije upotrebom limesa funkcije.
• Derivacija funkcije
  Deriviranje funkcija po definiciji derivacije. Deriviranje funkcija po pravilima za deriviranje zbroja funkcija, produkta i kvocijenta funkcija. Deriviranje konstantne funkcije. Deriviranje identitete, kvadratne funkcije, potencije, iracionalne funkcije, eksponencijalne i logaritamske funkcije, trigonometrijskih funkcija.
• Tablica derivacija
  Deriviranje kompozicije funkcija, implicitno zadane funkcije, logaritamsko deriviranje. Primjena derivacija (L'Hospitalovo pravilo) na računanje limesa neodređenih oblika.
• Primjena derivacija
  Primjena derivacije na računanje tangente i normale u točki na zadanu krivulju. Određivanje kuta između dviju krivulja u točki sjecišta. Primjena derivacija na određivanje stacionarnih točaka, ekstrema i monotonosti funkcije.
• Tok funkcije. Teoremi o srednjoj vrijednosti
  Primjena derivacija na određivanje točke infleksije, konveksnosti/konkavnosti, asimptota funkcije i na skiciranje grafa funkcije. Primjena teorema o srednjoj vrijednosti na rješavanje zadataka.
• Neodređeni integrali
  Računanje integrala upotrebom tablice integriranja i svojstava (neposredno integriranje). Primjena metode supstitucije, metoda parcijalne integracije na računanje integrala.
• Integriranje racionalnih
  Integriranje nekih racionalnih funkcija rastavljanjem podintegralne funkcije na parcijalne razlomke. Integriranje racionalnih funkcija (čiji nazivnik se ne može rastaviti na faktore) svođenjem na oblik 1/(1+ (x+a)^2).
• Integriranje trigonometrijskih funkcija
  Integriranje trigonometrijskih funkcija. Integriranje funkcije oblika f(x)=R(u) gdje je R racionalna funkcija, a u=tgx. Integriranje funkcije oblika f(x)=R(u,v), gdje je R racionalna funkcija, a u= cos2x i v=sin2x. Integriranje funkcije oblika f(x)=R(u,v), gdje je R racionalna funkcija, a u=cosx i v=sinx. Integriranje funkcije oblika sin(mx)cos(nx).
• Newton-Leibnizova formula. Računanje površina pomoću određenog integrala
  Računanje određenih integrala upotrebom svojstava i Newton-Leibnizove formule. Proširivanje pojma određeni integral na negativne funkcije. Računanje površine ravninskog lika na intervalu na kojem funkcija mijenja predznak.

Alati koji se koriste na predmetu

• Mathematica, Graph
  se koriste za izradu problemskih zadataka

Osnovna literatura

• Divjak, B.; Hunjak, T. Matematika za informatičare. TIVA - Fakultet organizacije i informatike, Varaždin, 2004.
• Divjak, B.; Hunjak, T.; Ostroški, M. Zbirka zadataka iz matematike. TIVA - Fakultet organizacije i informatike, Varaždin, 2007.

Dopunska literatura

• Chiang, A.C. Osnovne metode matematičke ekonomije. 3.izd. MATE, Zagreb, 1994.
• Hughes-Hallett, D.; Gleason, A.M. et al. Student answer manual to accompany Calculus. John Wiley and Sons, New York, 1994.
• Hoffman, L.D.; Bradley, G.L.: Calculus for business, economics, and the social and life sciences. McGraw-Hill, New York, 2000.
• Simon, C.P.; Blume, L. Mathematics for Economists. New Delhi: Viva Books, 2009.
• Kreyszig, E. Engeneering mathematics. John Wiley, Hoboken, 2006.

Preduvjeti

• Matematika 1
  Cilj predmeta Matematika I je upoznavanje studenata s osnovnim pojmovima diskretne matematike (kao što su matematički modeli, matematička logika te skupovi i relacije) i linearne algebre (matrice, determinante, sustavi linearnih jednadžbi i nejednadžbi) koji su neophodni za prihvaćanje kvantitativnih aspekata znanja u informacijskim i organizacijskim znanostima te priprema studenata za logičko razmišljanje u znanosti i poslovanju. Predmet ima i generičke ciljeve kao što su timski rad, prezentacijske vještine (usmeno i pismeno izražavanje), razumijevanje modela, upotreba literature i razvoj ICT vještina, te posebno strategije rješavanja problemskih zadataka. Nadalje, koncepcija rada omogućava razvoj vještina apstrakcije kod studenata

Slični predmeti

• Matematika 1, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Sveučilište u Zagrebu
• Matematika 1, Strojarski fakultet u Slavonskom Brodu
• Matematika 1, FESB, Sveučilište u Splitu
• Matematika 1, Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i kineziologije, Sveučilište u Splitu, na smjerovima: Fizika i informatika, Informatika i Tehnika, Informatika