Ishodi učenja predmeta

• analizirati zadani realni problem, odabrati prikladnu metodu rješavanja iz skupa metoda naučenih na ovom predmetu i drugim predmetima na studiju, kao i identificiranje nekih novih metoda kako bi se problem riješio na efikasan i efektivan način
• dokazati osnovne teoreme o polinomima koji ujedno daju i algoritme za traženje nultočaka polinoma
• primijeniti metode više matematike na traženje ekstrema i uvjetnih ekstrema funkcije dvije, i eventualno tri, varijable
• primijeniti različite koncepte za određivanje linearne zavisnosti i nezavisnosti vektora, te baze, u pojedinim vektorskim prostorima (prostor vektora, matrica, polinoma, funkcija i sl.) s naglaskom na njihovu upotrebljivost u operacijskim istraživanjima
• razumjeti osnovne pojmove i poznavati primjere iz područja vektorskih prostora, linearnih operatora i matematičke analize
• razumjeti pojam i geometrijsku interpretaciju parcijalne derivacije funkcije dviju varijabli, te optimizaciju funkcija više varijabli (traženje ekstrema i uvjetnih ekstrema)
• rješavati zadatke iz područja analitičke geometrije u trodimenzionalnom prostoru s naglaskom na njihovu upotrebljivost u području računalne grafike

Ishodi učenja programa

• modelirati poslovne procese i podatke u organizacijama i primijeniti modele u razvoju informacijskih i poslovnih sustavamodelirati poslovne procese i podatke u organizacijama i primijeniti modele u razvoju informacijskih i poslovnih sustava
• razumjeti i primijeniti matematičke metode, modele i tehnike primjerene rješavanju problema iz područja informacijskih i poslovnih sustava razumjeti i primijeniti matematičke metode, modele i tehnike primjerene rješavanju problema iz područja informacijskih i poslovnih sustava
• razumjeti i primijeniti vještine učenja potrebne za cjeloživotno učenje i nastavak obrazovanja na diplomskom studijurazumjeti i primijeniti vještine učenja potrebne za cjeloživotno učenje i nastavak obrazovanja na diplomskom studiju

Sadržaj predavanja

• Definicija vektora. Zbrajanje i oduzimanje vektora
  Povijesni osvrt. Motivacija za uvođenje pojma vektora. Primjeri upotrebe vektora u fizici. Definicija orijentirane dužine. Razlika između orijentirane dužine i dužine. Ekvivalentne orijentirane dužine. Klasa ekvivalentnih orijentiranih dužina (vektor). Vizualno objašnjenje razlike između pojma orijentirane dužine i pojma vektora. Modul, smjer i orijentacija vektora. Jednakost dva vektora. Nulvektor. Suprotni vektor. Zbrajanje vektora pravilom trokuta i pravilom paralelograma. Svojstva zbrajanja vektora. Oduzimanje vektora.
• Baza i koordinatizacija
  Množenje vektora skalarom. Svojstva množenja vektora skalarom. Jedinični vektor u smjeru nekog vektora. Kolinearni i komplanarni vektori. Linearna zavisnost i nezavisnost vektora u ravnini i prostoru. Definicija baze u V2 i V3 . Lijeva i desna baza. Koordinate vektora u nekoj bazi. Svojstva koordinatizacije. Primjeri prikaza vektora u bazi i ispitivanja linearne zavisnosti i nezavisnosti vektora.
• Skalarni produkt vektora
  Kut između dva vektora. Definicija skalarnog produkta dva vektora. Nužan i dovoljan uvjet za okomitost dva vektora pomoću skalarnog produkta. Svojstva skalarnog produkta. Ortonormirana baza u V2 i V3. Koordinatni prikaz skalarnog produkta u ortonormiranoj bazi. Formula za duljinu vektora, ako su poznate njegove koordinate u ortonormiranoj bazi. Formula za računanje kuta između dva vektora koji su zadani svojim koordinatama u ortonormiranoj bazi. Kosinusi smjera vektora. Lagani uvod u vektorski prostor.
• Vektorski i mješoviti produkt vektora
  Definicija vektorskog produkta dva vektora. Pravilo desnog kažiprsta. Nužan i dovoljan uvjet za kolinearnost dva vektora pomoću vektorskog produkta. Antikomutativnost, neasocijativnost, kvaziasocijativnost i distributivnost vektorskog produkta. Koordinatni prikaz vektorskog produkta u ortonormiranoj bazi. Definicija algebre nad poljem realnih brojeva. Definicija mješovitog produkta tri vektora u V3. Nužan i dovoljan uvjet za komplanarnost tri vektora pomoću mješovitog produkta. Svojstva mješovitog produkta. Koordinatni prikaz mješovitog produkta u ortonormiranoj bazi. Volumen paralelopipeda i tetraedra.
• Analitička geometrija trodimenzionalnog euklidskog prostora osnovni pojmovi
  Aksiomi trodimenzionalnog euklidskog prostora. Točka, pravac i ravnina u prostoru. Koordinatizacija trodimenzionalnog euklidskog prostora. Pojam radijvektora. Udaljenost dvije točke u prostoru. Površina paralelograma i trokuta. Koordinate polovišta dužine. Koordinate težišta trokuta.
• Ravnina u trodimenzionalnom euklidskom prostoru
  Parametarska jednadžba ravnine u vektorskom obliku. Parametarske jednadžbe ravnine u skalarnom obliku. Jednadžba ravnine kroz tri nekolinearne točke. Opći oblik jednadžbe ravnine. Normala ravnine. Opći oblik jednadžbe ravnine u vektorskom obliku. Segmentni oblik jednadžbe ravnine. Normalni ili Hesseov oblik jednadžbe ravnine. Udaljenost točke od ravnine. Kut između dviju ravnina. Pramen i svežanj ravnina u prostoru. Međusobni položaj dvije ravnine u prostoru.
• Pravac u prostoru
  Parametarski oblik jednadžbe pravca u vektorskom obliku. Parametarske jednadžbe pravca u skalarnom obliku. Kanonski oblik jednadžbe pravca. Jednadžba pravca kroz dvije točke. Opće jednadžbe pravca. Kut između dva pravca. Udaljenost točke od pravca. Zajednička normala i udaljenost dvaju mimosmjernih pravaca. Kut između pravca i ravnine. Međusobni položaj dva pravca u prostoru. Međusobni položaj pravca i ravnine u prostoru.
• Vektorski prostor
  Definicija vektorskog prostora. Primjeri vektorskih prostora. Potprostor vektorskog prostora. Linearna zavisnost i nezavisnost vektora u vektorskom prostoru. Linearni omotač skupa. Baza i dimenzija vektorskog prostora. Steinitzov teorem. Koordinatizacija vektorskog prostora. Transformacije koordinata. Matrica prijelaza iz jedne baze vektorskog prostora u drugu.
• Linearni operator
  Definicija linearnog operatora. Primjeri linearnih operatora. Zadavanje linearnog operatora. Definicija slike i jezgre (nulprostora) linearnog operatora. Definicija ranga i defekta linearnog operatora. Teorem o rangu i defektu. Matrični zapis linearnog operatora. Karakteristični polinom, svojstvene vrijednosti, svojstveni vektori i svojstveni potprostori linearnog operatora. Hamilton Cayleyev teorem. Minimalni polinom. Karakterisitični zadaci i interpretacija rezultata. Posebni linearni operatori u prostoru: rotacija, projekcije, homotetija, zrcaljenja. Translacija.
• Prsten polinoma
  Definicija polinoma. Zapis polinoma po rastućim i padajućim potencijama. Stupanj polinoma. Najstariji ili vodeći koeficijent polinoma. Slobodni koeficijent polinoma. Definicija nulpolinoma. Σ zapis polinoma. Normirani polinom. Određenost polinoma. Lagrangeov polinom. Funkcionalna jednakost polinoma. Formalna jednakost polinoma. Teorem o funkcionalnoj i formalnoj jednakosti polinoma. Teorem o nulpolinomu. Zbrajanje polinoma. Oduzimanje polinoma. Množenje polinoma. Teorem o dijeljenju polinoma. Algoritam za dijeljenje polinoma.
• Hornerov algoritam. Najveća zajednička mjera polinoma.
  Opis Hornerovog algoritma. Descartesov teorem. Računanje vrijednosti polinoma u nekoj točki pomoću Hornerovog algoritma. Analiza Hornerovog algoritma. Primjena Hornerovog algoritma na razvoj polinoma po potencijama od x-a. Primjena derivacije na razvoj polinoma po potencijama od x-a. Definicija najveće zajedničke mjere dva polinoma. Opis Euklidovog algoritma za računanje najveće zajedničke mjere dva polinoma. Definicija relativno prostih polinoma.
• Rješavanje polinomskih jednadžbi
  Definicija nultočke polinoma. Definicija korijena jednadžbe. Kratnost nultočke polinoma. Nužan i dovoljan uvjet kada polinom ima višestruke nultočke. Polje kompleksnih brojeva. Binomna jednadžba. n-ti korijeni iz jedinice. Osnovni teorem algebre. Cjelobrojne nultočke polinoma. Racionalne nultočke polinoma. Simetrične jednadžbe. Cardanove formule. Ferrarijeva metoda. Vieteove formule.
• Funkcije više varijabli
  Definicija funkcije više varijabli. Realna funkcija više varijabli. Primjeri funkcija više varijabli (npr. površina pravokutnika, volumen kvadra). Domena realne funkcije više varijabli. Određivanje domene realne funkcije dvije realne varijable. Geometrijska interpretacija funkcija. Graf realne funkcije dvije realne varijable. Prikazivanje realne funkcije dvije realne varijable nivo-linijama. Nivo-plohe realne funkcije tri realne varijable. Specijalne vrste funkcija dvije, tri i više varijabli. Linearna funkcija više varijabli.
• Parcijalne derivacije
  Limes funkcije više varijabli (Cauchyeva i Heineova definicija). Ekvivalencija Cauchyeve i Heineove definicije limesa funkcije više varijabli. Definicija neprekidnosti funkcije više varijabli. Definicija parcijalnih derivacija realne funkcije više realnih varijabli. Pravila parcijalnog deriviranja. Definicija derivabilnosti realne funkcije više varijabli. Parcijalne derivacije višeg reda. Schwarzow teorem.
• Totalni diferencijal
  Definicija diferencijabilnosti funkcije više varijabli. Totalni diferencijal funkcije više varijabli. Geometrijska interpretacija totalnog diferencijala. Veza između derivabilnosti i diferencijabilnosti funkcije više varijabli. Primjeri funkcija koje se osobito ponašaju u pogledu derivabilnosti i diferencijabilnosti. Primjena totalnog diferencijala kod približnog računanja.
• Ekstremi realnih funkcija više varijabli
  Definicija lokalnog minimuma i lokalnog maksimuma realne funkcije više varijabli. Definicija stacionarne ili kritične točke. Nužni i dovoljni uvjeti za postojanje ekstrema. Sedlasta točka. Postupak traženja lokalnih ekstrema. Ekstremi neprekidne funkcije na kompaktu. Definicija vezanog ili uvjetnog ekstrema realne funkcije više varijabli. Lagrangeova funkcija. Interpretacija problema Lagrangeove funkcije i rezultata. Traženje uvjetnih ekstrema. Primjeri praktičnih problema koji se rješavaju pomoću uvjetnih ekstrema.

Sadržaj seminara/vježbi

• Seminari prate predavanja
  Gradivo naučeno na predavanjima se na raznim primjerima zadataka utvrdi na seminarima. Rješavaju se i primjeri iz stvarnog života da studenti imaju bolji i kvalitetniji uvid u nastavno gradivo.
• Zadaće
  Studenti uz razne zadaće imaju prilike za samostalno istraživanje. Uz ovakva manja samostalna istraživanja, studenti svoje sposobnosti timskog rada pokazuju na projektnom zadatku.

Alati koji se koriste na predmetu

• mathematica

Osnovna literatura

• Lončar, I. Matematičke metode za informatičare I. Fakultet organizacije i informatike, Varaždin, 1997.
• Lončar, I. Matematičke metode za informatičare II. Fakultet organizacije i informatike, Varaždin, 1998.

Dopunska literatura

• Sallas, S.; Hille, E.; Etgen, G. Calculus: one and several variables: student solutions manual. 9th ed. Wiley, Hoboken, 2003.
• Lang, S. Linear Algebra. 3rd ed. Springer, New York, 1987.
• Lang, S. Calculus of Several Variables. 3rd ed. Springer, New York, 1987.
• Anton, H.; Rorres, C. Elementary linear algebra. Wiley and Sons, New York, 2005.
• Kreyszig, E. Advanced Engeneering Mathematics. John Wiley, Hoboken, 2006.

Preduvjeti

• Matematika 2
  Cilj predmeta Matematika II je upoznavanje studenata s osnovnim pojmovima matematičke analize (kao što su realne funkcije realne varijable, nizovi realnih brojeva, limes funkcije, derivacija funkcije, neodređeni i određeni integrali), koji su neophodni za usvajanje kvantitativnih aspekata znanja u informacijskim i organizacijskim znanostima. Studenti se upoznaju s pojmom optimizacije i uvedu se u gradnju modela te nauče primjenjivati apstraktne matematičke definicije i teoreme na konkretne probleme. Predmet ima i generičke ciljeve kao što su timski rad, prezentacijske vještine (usmeno i pismeno izražavanje), razumijevanje modela, upotreba literature i razvoj ICT vještina, te posebno strategije rješavanja problemskih zadataka. Nadalje, koncepcija rada omogućava razvoj vještina apstrakcije kod studenata

Slični predmeti

• Sveučilište u Zagrebu, FER, Matematika 2 http://www.fer.hr/predmet/mat2
• Sveučilište u Zagrebu, RGN, Matematika 2 http://www.rgn.hr/
• University of Oxford, Mathematical methods, http://www.admissions.ox.ac.uk/courses/eema.shtml