Ishodi učenja predmeta

• definirati i klasificirati binarne relacije na skupovima poznajući njihova svojstva i karakteristične primjere
• definirati i znati povezati osnovne pojmove i probleme iz teorije grafova
• efikasno raditi u timu na osmišljavanju, formuliranju, odabiru strategije i rješavanju problema iz područja diskretne matematike i teorije grafova
• identificirati strukturu i tipove dokaza u matematici
• koristiti matematičku literaturu različitih izvora uključujući i sustav za e-učenje, te barem jedan alat za obradu problema koji zahtijevaju primjenu teorije grafova
• primijeniti algoritme koji se temelje na prostim brojevima na probleme iz prakse
• primijeniti teoreme i algoritme iz teorije grafova na rješavanje zadataka srednje težine

Ishodi učenja programa

• Analizirati, preporučiti, implementirati i koristiti sustave za e-učenje u skladu s metodičkim i pedagoškim principima Analizirati, preporučiti, implementirati i koristiti sustave za e-učenje u skladu s metodičkim i pedagoškim principima
• Formulirati problem iz realnog svijeta u smislu problemskog zadatka u informatici te ga znati riješiti i rješenje evaluiratiFormulirati problem iz realnog svijeta u smislu problemskog zadatka u informatici te ga znati riješiti i rješenje evaluirati
• Modeliranje problema iz područja informacijskih i poslovnih sustava korištenjem matematičkih metoda, metoda razvoja informacijskih sustava i koncepata planiranja, upravljanja i poslovanja Modeliranje problema iz područja informacijskih i poslovnih sustava korištenjem matematičkih metoda, metoda razvoja informacijskih sustava i koncepata planiranja, upravljanja i poslovanja
• Unaprijediti i primijeniti metode stručnog rada pronalaženjem i vrednovanjem suvremenih izvora znanja Unaprijediti i primijeniti metode stručnog rada pronalaženjem i vrednovanjem suvremenih izvora znanja
• Voditi interdisciplinarni tim i raditi u takvom timuVoditi interdisciplinarni tim i raditi u takvom timu

Sadržaj predavanja

• Modeli i struktura matematike
  Matematički modeli. Karakteristike matematičkih modela. Struktura matematike. Aksiomi i njihova uloga u gradnji teorije. Osnovni i izvedeni pojmovi, veze među pojmovima. Teoremi. Primjeri poznatih matematičkih teorija i njihova evolucija.
• Metode dokazivanja tvrdnji u matematici
  Propozicijska i predikatna logika. Sudovi i operacije sa sudovima. Složene izjave povezane s i, ili. Implikacija i njezina svojstva. Struktura tvrdnje. Tehnike dokazivanja. Direkni dokaz. Dokaz po slučajevima. Dokaz kontrapozicijom. Ekvivalentne tvrdnje. Niz ekvivalentnih tvrdnji i način dokazivanja njihove ekvivalencije. Protuprimjeri za obaranje tvrdnji. Kvantifikator egzistencije i univerzalni kvantifikator. Matematička indukcija kao instrument dokazivanja na prirodnim (cijelim) brojevima. Peanovi aksiomi.
• Diskretna matematika: Skupovi i relacije
  Ponavljanje: Skup kao osnovni matematički pojam. Problematika zadavanja skupova. Paradoksi teorije skupova. Cantorov i Zermelov doprinos teoriji skupova. Relacije na skupovima (podskup, pravi podskup, jednakost skupova). Partitivni skup. Operacije na skupovima (unija, presjek, razlika, komplement) i njihova svojstva. Vennovi dijagrami. Dokazivanje tvrdnji o skupovima. Tablica pripadnosti. Problemi kod diskretnih i kontinuiranih skupova i njihove različitosti. Kartezijevi produkti n skupova (diskretni i kontinuirani slučaj). Skupovi brojeva. Kompleksni brojevi. Relacije, binarne relacije, svojstva binarnih relacija. Matrica incidencije. Funkcije (domena, rang, bijekcija, prebrojivost skupova). Inverzi i kompozicije.
• Kongruencija i njezine primjene
  Relacija ekvivalencije. Kvocjentni skup kod relacije ekvivalencije. Particija skupa inducirana relacijom ekvivalencije. Kongruencije. Operacije s kongruencijama (zbrajanje, oduzimanje, množenje). Rješavanje jednadžbi s kongruencijama. Primjena kongruencije na International Standard Book Number, Universal Product Code. Kineski teorem s ostatkom. Određivanje brojeva preko postotaka. Primjena kongruencija u kriptografiji.
• Dobro uređeni skupovi i mreže
  Parcijalni uređaj na skupu, definicija i osnovni primjeri. Leksikografski uređaj. Usporedivost elemenata u parcijalno D-277 uređenom skupu. Hasseovi dijagrami i njihova primjena. Linearni ili totalno uređeni skup. Pojam minimalnog i maksimalnog, te najveće gornje i donje međe u parcijalno uređenom skupu. Dobro uređeni skup.
• Dobro uređeni skupovi i mreže
  Mreža (lattice); definicija i primjeri. Djeljivost cijelih brojeva kao relacija parcijalnog uređaja. Najveći zajednički djelitelj i Euklidov algoritam. Najmanji zajednički višekratnik. Mreža djelitelja prirodnih brojeva. Princip dobrog uređaja (svaki neprazni skup prirodnih brojeva ima najmanji element). Ekvivalentnost principa matematičke indukcije i principa dobrog uređaja na skupu. Prosti brojevi i njihova svojstva. Eratostenovo sito. Osnovni teorem aritmetike (svaki se cijeli broj, veći od 2, može zapisati kao produkt potencija prostih brojeva). Goldbachova hipoteza.
• Rekurzije
  Rekurzivno zadani nizovi. Početni uvjeti kod rekurzivnog zadavanja. Rješenje rekurzivne relacije. Neki specijalni nizovi. Fibonccijev niz. Postupak rješavanja rekurzivno zadanih relacija. Homogene rekurzivne relacije. Karakteristični polinom. Nalaženje n-tog člana Fibonaccijevog niza. Pojam partikularnog rješenja i rješenje nehomogenih rekurzivnih relacija s konstantnim koeficijentima – rješavanje pomoću tablice partikularnih rješenja i pomoću homogenizacije. Rješavanje rekurzivnih relacija preko funkcija izvodnica.
• Algoritmi (ponavljanje)
  Principi prebrojavanja skupova. Binomni teorem. Ponavljanje metoda izgradnje algoritama. Euklidov algoritam. Hornerova shema. Složenost algoritma. Asimptotske ocjene složenosti. Svojstva asimptotskih ocjena složenosti. Pretraživanje i sortiranje. Slijedno i binarno pretraživanje. Sortiranje umetanjem. Mjehuričasto sortiranje. Sortiranje spajanjem. Quicksort.
• Algebarske strukture
  Grupa; definicija i primjeri. Komutativna (Abelova) grupa. Ispitivanje svojstava grupe i ekvivalentih iskaza. Izomorfizam grupa. Prsteni i polja. Polje relalnih brojeva. Algebarski zatvorena polja. Primjer polja kompleksnih brojeva. Vektorski prostor kao apstrakna struktura. Polinomi kao primjer vektorskog prostora. Vektorski prostor matrica. Primjena grupa u teoriji kodiranja. Otkrivanje i ispravljanje grešaka u prijenosu podataka. Matrica kodiranja i kontrolna matrica.
• Matematička teorija grafova s primjenama: Grafovi
  Definicija grafa i osnovna svojstva grafova. Stupanj vrha, višestruki bridovi, pseudograf. Podgraf. Specijalni grafovi: potpuni graf, bipartitni graf, potpuni bipartitni graf. Regularni grafovi. Eulerova propozicija (suma stupnjeva svih vrhova jednaka je dvostrukom broju bridova). Broj vrhova neparnog stupnja je paran. Izomorfizam grafova. Veza izomorfnih grafova preko matrice permutacija. Invarijante izomorfnih grafova. Šetnja, zatvorena šetnja, staza u grafu.
• Putevi i ciklusi
  Eulerova tura kao zatvorena Eulerova staza i Eulerov graf. Povezani grafovi. Graf je Eulerov ako i samo ako je povezan i svaki mu je vrh parnog stupnja. Rješenje problema Koeningsberških mostova. Hamiltonov ciklus. Hamiltonov graf. Petersonov graf kao protuprimjer Hamiltonovog grafa. Otvoreni problem nužnog i dovoljnog uvjeta za Hamiltonov graf. Matrica incidencije i matrica susjedstva. Svojstva matrice susjedstva. Algoritam za nalaženje Eulerove staze i ciklusa. Problem deadlockova.
• Težinski grafovi. Algoritmi najkraćeg puta.
  Težinski graf. Najkraći put između dva vrha u težinskom grafu. Primjene težinskih grafova. Problem trgovačkog putnika. Traženje Hamiltonovog ciklusa najmanje težine. Dijkstrin algoritam i poboljšani Dijkstrin algoritam. Floyd- Warshallov algoritam. Usporedba ta dva algoritma, njihova složenost i mogućnosti primjene. Problem kineskog D-278 poštara u Eulerovom grafu i grafu koji nije Eulerov. “Eulerizacija grafa”. Primjeri rada algoritama.
• Stabla
  Stablo kao povezani graf koji ne sadrži niti jedan ciklus. Svojstva stabla. Šuma. Stablo s korijenom (korjensko stablo). Binarno stablo. Binarno stablo pretraživanja. Algoritam sortiranja. Binarno stablo u prikazu algebarskih izraza. Minimalno razapinjuće stablo. Pojam podgrafa. Razapinjući podgraf. Težina stabla. Problem nalaženja minimalnog razapinjućeg stabla. Algoritmi za minimalno razapinjuće stablo. Kruskalov algoritam. Primov algoritam. Usporedba i složenost Kruskalovog i Primovog algoritma. Pretraživanje stabla. Prolasci grafom i stablom.
• Usmjereni grafovi
  Usmjereni graf (digraph). Usmjerena šetnja, usmjereni put. Turnir: definicija i svojstva. Postojanje usmjerenog Hamiltonovog puta u svakom turniru. Mreže i kritični putevi. Problem rasporeda. Metoda kritičnog puta - CPM, PERT. Primjene u vođenju i planiranju projekata. Protoci i rezovi. Transportna mreža. Vrijednost protoka. Pojam frastućeg puta. Max flow – min cut teorem. Dokaz teorema. Primjeri primjene teorema. Algoritam za maksimalni protok transportne mreže.
• Bojanje grafova
  Problem četiri boje. Povijesni osvrt i Appel-Hakenovo rješenje. Bojenje vrhova grafa. Kromatski broj grafa. Primjena kromatskog broja grafa na slaganje rasporeda. Kromatski broj, ekvivalencija na grafovima, klase boje. Klike i broj klike. Kromatski brojevi nekih poznatih grafova. Teoremi o kromatskom broju. Bojanje bridova grafa. Kromatski broj grafa i primjeri. Teorem (Vizig, Gupta).
• Sparivanje u grafovima
  Sparivanje u grafovima. Maksimalno sparivanje u grafu. Sparivanje u bipartitnim grafovima. Hallov teorem.

Sadržaj seminara/vježbi

• Seminari prate predavanja
  Na seminarima se rješavaju zadaci vezani uz teoriju obrađenu na predavanjima. Naglasak je, gdje god je to moguće, na praktičnim zadacima koji mogu biti vezani za neki realni problem. Također se pokazuje na koji način je neki zadatak moguće riješiti u nekom programskom alatu ili jeziku kao što su Python, SAGE i Maxima.
• Studenti također rješavaju dva praktična zadatka u Pythonu (ili SAGE-u, ili Maximi)
  Jedan zadatak se odnosi na diskretnu matematiku i vezan je uglavnom za neku primjenu u teoriji brojeva i kombinatorici, a drugi zadatak je vezan uz teoriju grafova

Alati koji se koriste na predmetu

• Sage
  Open source matematički program napisan u pythonu koji nudi vlastite funkcije, ali koristi isto tako unutar sebe i ostale ponajbolje open source matematičke programe poput Maxima, Axiom, GAP i slično. Prirodno sučelje mu je linux operacijski sustav, ali može se koristiti i preko weba.
• Maxima
  open source
• Mathematica
  Ukoliko postoji licenca, u obzir dolazi kao alternativa
• Python
  Besplatni programski jezik velikih mogućnosti. Kod teorije grafova posebno je moćan njegov modul networkx.

Osnovna literatura

• Divjak B., Lovrenčić A. Diskretna matematika s teorijom grafova. TIVA-FOI, Varaždin, 2005.
• Goodaire E. G., Parmenter M. M. Discrete mathematics with graph theory. Prentice Hall, New York, 2005.

Dopunska literatura

• Garnier R., Taylor J. Discrete mathematics for new technology. Institute of Physics Publishing, Bristol & Philadelphia, 1999.
• Veljan D. Kombinatorna i diskretna matematika. Algoritam, Zagreb, 2001.
• Tucker, A. Applied combinatorics. John Wiley & Sons, Hoboken, 2007.
• Dujella A., Maretić M. Kriptografija. Element, Zagreb, 2007.

Slični predmeti