Sadržaj predavanja

• Uvod.
  Uvod u kolegij – pojašnjavanje ciljeva i svrhe kolegija.
• Realne funkcije realne varijable. Domena funkcije. Kompozicija. Bijekcija. Graf funkcije
  Zadavanje funkcija: numerički (pomoću tablice), algebarski (pomoću formule), grafički (pomoću grafa). Klasifikacija realnih funkcija realne varijable: algebarske funkcije i transcedentne. Podjela algebarskih funkcija na racionalne (polinomi, prave racionalne funkcije) i iracionalne. Određivanje domena realnih funkcija realne varijable: racionalne i iracionalne funkcije, logaritamske funkcije. Uvođenje pojma kompozicija funkcija za dvije zadane funkcije realne varijable. Kompozicija funkcija nema svojstvo komutativnosti. Identično preslikavanje. Specijalne funkcije: injekcija, surjekcija, bijekcija. Bijekcija kao uvjet za postojanje inverzne finkcije. Računanje inverza funkcije koja je bijekcija. Grafovi međusobno inverznih funkcija su uvijek simetrični s obzirom na pravac y=x. Restrikcija funkcije. Primjeri kvadratne i eksponencijalne funkcije. Graf funkcije. Modeliranje pomoću elementarnih funkcija. Naglašavanje primjene funkcija u praktičnim problemima.
• Svojstva realnih funkcija realne varijable
  Definicija nultočke funkcije. Uvođenje pojmova funkcije ograničene odozgo (odozdo), gornja i donja međa funkcije. Definicija pada i rasta funkcije. Za funkciju koja raste ili pada na cijelom području definicije uvodi se pojam monotona funkcija. Definicija lokalnog minimuma i maksimuma funkcije. Za vrijednosti funkcije u tim točkama uvode se pojmovi maksimalna i minimalna vrijednost. Za lokalni minimum i maksimum uvodi se pojam lokalni ekstremi. Definicija parne i neparne funkcije. Primjeri parnih funkcija: potencije s parnim eksponentima. Primjeri neparnih funkcija: potencije s neparnim eksponentima. Graf parne i neparne funkcije.
• Primjeri funkcija i njihovih grafova
  Polinomi: konstantna funkcija, Afina funkcija (graf je pravac), kvadratna funkcija (graf je parabola). Racionalne funkcije: istostranična hiperbola. Iracionalne funkcije: drugi korijen iz x. Eksponencijalne funkcije s bazom većom od 1 i bazom između 0 i 1. Svojstva eksponencijalnih funkcija. Primjer krivulje učenja i logističke krivulje. Uvođenje logaritamske funkcije kao inverzne funkcije eksponencijalne funkcije. Grafovi logaritamskih funkcija s bazom većom od 1 i bazom između 0 i 1. Svojstva logaritama. Uvođenje prirodnog logaritma kao logaritma po bazi e. Trigonometrijske funkcije: sinus, kosinus, tangens, kotangens. Relacije među trigonometrijskim funkcijama. Uvođenje ciklometrijskih funkcija kao inverznih funkcija trigonometrijskim funkcijama.
• Aritmetički i geometrijski niz
  Definicija i karakterizacija aritmetičkog niza. Izvod formule za opći član i sumu prvih n članova aritmetičkog niza. Definicija i karakterizacija geometrijskog niza. Izvod formule za opći član i sumu prvih n članova geometrijskog niza. Primjena nizova u praktičnim problemima. Limes aritmetičkog i geometrijskog niza.
• Jednostavni i složeni kamatni račun
  Osnovni pojmovi. Pojam dekurzivnog i anticipativnog obračuna kamata. Kamate kod dekurzivnog obračuna kamata u jednostavnom kamatnom računu. Buduća vrijednost glavnice kod jednostavnog kamatnog računa. Grafički prikaz rasta glavnice. Kamate više glavnica. Buduća (konačna) vrijednost glavnice uz dekurzivan obračun kamata. Početna (sadašnja) vrijednost glavnice. (Akumulirana i diskontirana vrijednost.) Prikaz vrijednosti novca na brojevnom pravcu. Grafički prikaz rasta glavnice i usporedba s rastom glavnice kod jednostavnog kamatnog računa. Simulacija pomoću računala.
• Ispodgodišnje ukamaćivanje
  Ispodgodišnje ukamaćivanje kod složenog kamatnog računa. Relativna i konformna kamatna stopa (kamatnjak) i njihova upotreba. Izvod formule za dekurzivnu ispodgodišnju kamatnu stopu. Ispodgodišnji kamatni faktor. Usporedba različitih ispodgodišnjih kamatnih stopa, svođenje na godišnju kamatnu stopu. Pojam efektivne kamatne stope. Kontinuirano ukamaćivanje. (12)
• Periodske uplate i isplate
  Buduća (konačna) vrijednost n periodskih uplata jednakih visina uplaćivanih početkom razdoblja (prenumerando). Buduća (konačna) vrijednost n periodskih uplata jedankih visina uplaćivanih krajem razdoblja (postnumerando). Izvod formula, prikaz na vremenskom pravcu, karakteristične primjene i zadaci. Tablični kalkulatorfinancijska funkcija FV i alat Goal Seek. Sadašnja (početna) vrijednost n periodskih isplata (renti) jednakih visina isplaćivanih početkom perioda (prenumerando). Sadašnja (početna) vrijednost n periodskih isplata jedankih visina isplaćivanih krajem perioda (postnumerando). Izvod formula, prikaz na vremenskom pravcu, karakteristične primjene i zadaci. Vrijeme trajanja periodskih isplata. Krnja isplata kod prenumerano i postnumerando slučaja. Tablični kalkulator- financijska funkcija PV
• Opće periodske svote
  Pojam opće periodske svote. Slučajevi periodičnih svota nejedankih iznosa i jednake svote u neperiodičnim intervalima. Prevođenje opće periodske svote u ekvivalentne jednostavne periodske svote. Beskonačna renta. Problem zaklade. Periodske svote posebnih slučajeva varijabilnih uplata i isplata.
• Zajam i konverzija zajma
  Pojam zajma, anuiteta i otplatne osnove (tablice). Vrste zajmova prema načinu otplate. Otplata zajma jednakim anuitetima krajem vremenskog perioda (postnumerando), izvod formule, primjena i tipični zadaci. Izrada otplatne osnove zajma. Veze između otplatnih kvota u različitim razdobljima. Formula za ostatak duga nakon k razdoblja otplate. Tablični kalkulator – financijske funkcije PMT, RATE, IPMT, PPMT. Pojam konverzije zajma i vrste konverzije zajma. Otplata zajma jednakim otplatnim kvotama. Hipoteka.
• Anticipativan obračun kamata
  Kamate i buduća vrijednost glavnice kod anticipativnog obračuna kamata u jednostavnom kamatnom računu. Kamate i buduća vrijednost glavnice kod anticipativnog obračuna kamata u složenom kamatnom računu. Ekvivalentnost dekurzivne i anticipativne kamatne stope. Otplata zajma jednakim anuitetima krajem vremenskog razdoblja uz anticipativan obračun kamata. Usporedba anuiteta kod dekurzivnog i anticipativnog obračuna kamata. Otplata zajma jednakim otplatnim kvotama krajem vremenskog razdoblja uz anticipativan obračun kamata.
• Investicije i amortizacija
  Pojam ulaganja (investicije). Neke metode procjene opravdanosti investicije: metoda čiste sadašnje vrijednosti - NPV i metoda interne stope profitabilnosti – IRR. Tablični kalkulator – financijske funkcije NPV, IRR i MIRR. Pojam amortizacije i osnovni pojmovi. Amortizacijska osnovica (tablica). Metode amortizacije. Linearna amortizacija. Tablični kalkulator – financijska funkcija SLN. Metoda konstantnog postotka. Metoda sumiranja. Funkcionalni sustav amortizacije - amortiziranje usluga. Tablični kalkulator – financijske funkcije DB, DDB i SYD.
• Analiza praktičnih zadataka
  Analiza praktičnih zadataka koje su studenti u timovima razradili kroz semester i prezentirali na seminarima. Uočeni problemi kod prikupljanja podatka, rada u timu i primjene financijske matematike na praktične probleme. Prijedlozi novih tema praktičnih radova. (24)
• Derivacija funkcije
  Razvoj diferencijalnog računa kroz povijest. Motivacija za uvođenjem diferencijalnog računa. Newtonov i Leibnizov pristup diferencijalnom računu. Problem tangente na način koji je doveo Leibniza do pojma derivacije. Geometrijska interpretacija derivacije funkcije u točki kao nagib tangente u zadanoj točki. Definicija derivacije funkcije u točki. Nužan uvjet za postojanje derivacije u točki je da je ona neprekidna u toj točki. Pravila za deriviranje: derivacija zbroja funkcija, derivacija produkta i kvocijenta funkcija, derivacija konstantne funkcije. Dokazi pravila za deriviranje. Deriviranje identitete, kvadratne funkcije, potencije. Primjeri derivacija. Derivacija kompozicije funkcije. Induktivno uvođenje pojma derivacije višeg reda. Diferencijal funkcije i njegovo geometrijsko značenje.
• Primjena derivacija
  Uvođenje pojmova tangenta i normala funkcije u danoj točki. Računanje tangente i normale zadane krivulje u zadanoj točki. Karakterizacija pada i rasta funkcije na intervalu pomoću prve derivacije funkcije. Određivanje intervala monotonosti zadane funkcije. Nužan uvjet za postojanje lokalnih ekstrema. Karaketristični primjeri: polinomi i racionalne funkcije. Uvođenje pojma stacionarna točka za točku za koju je ispunjen nužan uvjet. Primjena druge derivacije na određivanje lokalnih ekstrema.
• Tok funkcije.
  Uvođenje pojmova konveksna, konkavna funkcija i točaka infleksije. Nužan uvjet da je neka točka točka infleksije. Određivanje ekstremnih točaka i točaka infleksije. tUvođenje pojma asimptota funkcije. Tok funkcije: nultočke, domena, svojstva (parnost, neparnost...), ekstremi, pad i rast, konveksnost i konkavnost, točka infleksije. Skiciranje grafa funkcije upotrebom elementa analize funkcije. Analizirat će se polinomi i racionalne funkcije. Završni sat i evaluacija predmeta.

Osnovna literatura

• Divjak, B.; Erjavec, Z. Gospodarska i financijska matematika. TIVA - Fakultet organizacije i informatike, Varaždin, 2003.
• Divjak, B.; Hunjak, T. Matematika za informatičare. TIVA - Fakultet organizacije i informatike, Varaždin, 2004 – sveučilišni udžbenik
• Divjak, B.; Hunjak, T. Zbirka zadataka iz matematike. TIVA - Fakultet organizacije i informatike, Varaždin, 2002. – fakultetska zbirka.

Dopunska literatura

• Chiang, A.C. Osnovne metode matematičke ekonomije. hrvatsko izdanje, MATE d.o.o., Zagreb, 1994.
• Zima, P.; Brown, R.L. Mathematcs of Finance. Schaum`s O.S.,1996.